MOVIMIENTO ARMONICO SIMPLE ( M.A.S.)

MOVIMIENTO ARMÓNICO SIMPLE (M.A.S)
DEFINICIÓN del M.A.S. y CARACTERÍSTICAS
Conviene aclarar lo que significa periódico, oscilatorio y vibratorio para entender porqué se aplica este término al movimiento armónico simple:

Movimiento periódico: un movimiento se dice que es periódico cuando a intervalos iguales de tiempo, todas las variables del movimiento (velocidad, aceleración, etc.) toman el mismo valor. Ej. la Tierra alrededor del Sol.
Movimiento oscilatorio: Es el movimiento periódico en el que la distancia del móvil al centro de oscilación, pasa alternativamente por un valor máximo y un mínimo. Ej. un péndulo.
Movimiento vibratorio: Es un movimiento oscilatorio que tiene su origen en el punto medio y en cada vibración pasa por él. Las separaciones a ambos lados a ambos lado del centro se llaman amplitud y son iguales. Ej. una varilla que sujeta por un extremo a la que damos un impulso en el otro. La varilla vibra.
El Movimiento vibratorio armónico simple -M.A.S- es: un movimiento vibratorio.
La ecuación que determina la posición es una función matemática seno o coseno y por ello se las denomina armónicas.
No se consideran las atenuaciones del medio por lo que al movimiento así simplificado se le llama simple.
¿Cómo se origina el MAS?
Cuando separamos un resorte de su posición de equilibrio, estirándolo o comprimiéndolo, adquiere un M.A.S al soltarlo. La fuerza recuperadora de ese resorte, que varia según la distancia al centro, es la que genera una aceleración, proporcional también a la elongación, la cual le confiere ese movimiento de vaivén llamado M.A.S.
Todas las expresiones del M.A.S. de la fuerza, aceleración etc., contienen la función matemática senoidal o cosenoidal.

Magnitudes (valores a medir) del fenómeno
Observando el movimiento del resorte vemos que se desplaza entre dos puntos, desde la máxima compresión hasta la máxima elongación, pasando por un punto medio de equilibrio. A la distancia desde el punto medio a cualquiera de los extremos le llamamos AMPLITUD y la representamos por A.

La distancia desde la posición que ocupa la bola roja en cada momento hasta el punto central es la ELONGACIÓN, x.
El valor de x coincide con la coordenada de posición medida desde el centro.
El punto O es el punto de equilibrio.
Al representar un movimiento que oscila en unos ejes cartesianos al eje vertical le llamamos X (aunque suele llamársele "eje y" ) para que la elongación coincida con la fórmula que viene en la mayoría de los libros de texto.
Esto es lo mismo que girar la imagen de la oscilación.

El tiempo que emplea en realizar una oscilación completa se llama PERÍODO, se representa por T y se mide en segundos.
¿Tarda lo mismo en recorrer las distancias OP y PM ? ¿En tiempos iguales recorre siempre distancias iguales?. Pulsa aquí para hacer un ejercicios sobre este concepto.
La FRECUENCIA es el número de oscilaciones que realiza por segundo y la representamos por 
________________________________________
CINEMÁTICA del M.A.S.
Actividades
Teoría
Para una partícula que oscila con M.A.S existe una ecuación que permite calcular la posición en función del tiempo. Es senoidal y armónica.
Pulsa aquí si quieres saber como se calculó.
x = A sen(t + )
siendo x la elongación, A la amplitud,  la pulsación o frecuencia angular y  el desfase.
El desfase nos indica que la partícula no está en el punto medio de la oscilación cuando comienzo a medir el tiempo (t = 0), está en otro lugar.
El lugar en que está para t = 0 es xo y su expresión
xo= A sen()
Es muy común la confusión de alumnos que no entienden porqué unos libros ponen que la posición está dada por: x = A sen(t + ) y otros por x = A cos(t + ). Las dos expresiones son totalmente correctas y el elegir una u otra sólo depende de donde se empiece a observar la oscilación, si partiendo del medio para t = 0 , o partiendo del extremo.
De una expresión se puede pasar a la otra añadiendo una fase de/2
Para estudiar las expresiones de la posición de un cuerpo que oscila sin parar, podemos elegir cuando empezamos a contar el tiempo, por lo que si no está en el origen escogido existirá una fase.
Vamos a considerar una oscilación sobre el eje de las X.

Si empezamos a contar el tiempo cuando pasa por el centro y se dirige a la derecha, la expresión será:
x = A sen(t) y en ella vemos quepara t = 0 —> x = 0
Si empezamos a contar cuando está ligeramente a la derecha del centro, la expresión será:
x = A sen(t + ) y para t = 0 — >xo= A•sen( )
y en general para un tiempo t estará en: x = A sen(t + )
En consecuencia, si empezamos a contar desde el centro, usamos la expresión seno, con o sin desfase.

Si empezamos a contar el tiempo cuando pasa por el extremo y comienza a regresar al centro, la expresión será:
x = A•cos(t) y para t = 0 —>x = A
Si empezamos a contar cuando ya está regresando (por ejemplo en 1, a la izquierda del extremo, ya giró  )
para t = 0 está en xo= A cos()
y en general para un tiempo t estará en : x = A cos(t + )
Si empezamos a contar desde el extremo, usamos la expresión coseno, con o sin desfase.
La expresión de la posición también dependerá del eje sobre el que se está considerando la oscilación.
Para ver las expresiones de una oscilación vertical pulsa aquí.
Pulsa aquí para realizar actividades de cambio de fase inicial con un applet.
El valor de la frecuencia angular está relacionado con la constante recuperadora por la siguiente ecuación:

La pulsación,  equivale al número de oscilaciones completas que se ejecutan en 6,28 segundos ( = 2•  / T). Si en un tiempo "T" se realiza una oscilación completa en 2• segundos se realizan 2•/T
VELOCIDAD Y ACELERACIÓN EN EL M.A.S.
A partir de la ecuación de la posición o de la elongación y, derivando respecto al tiempo, obtenemos la ecuación de la velocidad en el M.A.S:
v = A  cos(t + )

v(máx) =  •A

Modificando ligeramente esta ecuación encontramos una expresión de la velocidad en función de la elongación, x:



Consulta en un libro como se realizó la transformación anterior.
¿Podrías hallar la velocidad media en un período? ¿Cuál es la velocidad media en T/4? Pulsa aquí para realizar actividades y comprobarlo.
Derivando la velocidad con respecto al tiempo, obtenemos la ecuación de la aceleración en el M.A.S:
a = - A 2 sen(t + )

a(máx) = A 2

de la que podemos obtener también una ecuación que la relaciona con la posición:
a = - 2 X

Hemos obtenido ecuaciones para la velocidad y la aceleración no sólo en función del tiempo sino también en función de la posición.
Con las expresiones de la velocidad y de la aceleración podemos calcular fácilmente los valores máximos de ambas y los puntos de la trayectoria donde se dan estos valores. Quedan resumidos en la siguiente tabla:
Magnitud Ecuación en función del tiempo Ecuación en función de la posición Condición de máximo

El máximo se da en
Velocidad v = A  cos(t + )
X = 0 —> Vmax= • A el punto de equilibrio
Aceleración a = - A 2 sen(t + ) a = - 2 •x X= A —> amax= - 2 •A
(X es máximo) en los puntos extremos
Observa que en el punto central de la oscilación (punto de equilibrio) la suma de la fuerza recuperadora más la de la gravedad es cero, pero la velocidad no lo es. Puede, por lo tanto, haber un punto de equilibrio ( F = 0 ) que tiene velocidad distinta de cero.
Los signos que aparecen en las fórmulas sólo significan que la magnitud despejada tiene sentido contrario al vector de la derecha ( "a" tiene sentido contrario a x). Los módulos son siempre positivos.
¿Podrías hallar la aceleración media en diferentes intervalos? Pulsa aquí para realizar actividades.
________________________________________


ESTUDIO DE LA DINÁMICA DEL M.A.S.

En este apartado estudiaremos la relación entre la fuerza y el movimiento armónico simple.
El cuerpo unido a un resorte que realiza un M.A.S, forma un sistema oscilante masa-resorte. Mientras el cuerpo oscila, está sometido a una fuerza recuperadora ejercida por el resorte que obedece a la Ley de Hooke. Pulsa aquí para conocer su biografía o esta otra en inglés. La Ley de Hooke dice que el valor de la fuerza recuperadora del resorte es proporcional a la elongación y de sentido contrario.



Mientras estiramos el resorte, la mano ejerce una fuerza de deformación sobre el resorte hacia la derecha, y el resorte ejerce una fuerza recuperadora sobre la masa hacia la izquierda.

Mientras la bola oscila pasa por estados de equilibrio en los que sobre ella actúa un F = 0 y le comunica a = 0
Al soltar la bola la fuerza recuperadora del resorte le comunica una aceleración que es proporcional a la elongación:
a = - 2 x
Esta fuerza recuperadora es de tipo conservativo y el trabajo realizado por ella se puede calcular mediante la expresión de la energía potencial, fórmula que contiene una única variable, la elongación. También podriamos hallar el trabajo con la formula F•x pero eso requiere conocer el valor de F en cada momento y halla la suma de F•x a lo largo del camino (integrar). Esto es más complicado que usar la Ep que sólo implica conocer los valores de x iniciales y finales y multiplicar por w2.
En el apartado de la energía puedes ver el cálculo de la energía potencial del resorte.
Podemos hallar esta relación
usando la dinámica




RESORTE COMPRIMIDO


Cuando el resorte pasa de la posición de comprimido a la de estirado, y mientras no alcanza el punto de equilibrio O, la fuerza recuperadora del resorte se ejerce hacia la derecha.
La compresión x es negativa (de la posición de equilibrio hacia la izquierda).

Aplicando la Ley de Hooke:

Vemos que la fuerza recuperadora resulta positiva (hacia la derecha).

RELACIÓN ENTRE EL PERIODO, LA MASA Y LA "k" DE UN RESORTE


Tenemos un bloque unido a un resorte que está apoyado sobre una mesa con la que no roza al moverse. Tomamos como origen de desplazamientos el punto que está en el "centro de masas del bloque" y convenimos que el sentido positivo será hacia donde estiramos el resorte (hacia la derecha). Tiramos del bloque y estiramos el resorte. Mientras tiramos aparece una fuerza recuperadora que se opone a la que hacemos para estirarlo. En el momento que lo soltamos actúa solamente la fuerza recuperadora (igual y opuesta a la que ejercíamos antes de soltarlo). Esta fuerza que vemos representada en la figura tiene un valor dado por la Ley de Hooke:

La fuerza recuperadora de este resorte es proporcional a la elongación y de signo contrario (la fuerza de deformación se ejerce hacia la derecha y la recuperadora hacia la izquierda). la expresión de la ley es:

F y x son dos vectores de la misma dirección y de sentido opuesto.
La fuerza que se ejerce para estirarlo es: F = Kx (tiene el mismo sentido que la elongación).
La 2ª ley de Newton dice que toda aceleración tiene su origen en una fuerza y lo expresamos con la conocida fórmula: F = ma
Es evidente que la fuerza recuperadora del resorte es la que origina la aceleración del movimiento, lo que supone que ambas fuerzas, expresadas arriba, son iguales:
F = - K•x
F = m a = -m  2x Igualando obtenemos

A partir de ellas hallamos el valor del período y de la frecuencia por ser =•T —» 2•=•T



En esta aplicación puedes ver como varía el período con la masa.
Realiza estas actividades.
RESUMEN
La pulsación, el período y la frecuencia vienen determinados por k (tipo y forma del resorte) y por la masa que oscila.
La fuerza con la que estiramos el resorte no influye en el periodo, ni en la frecuencia, ni en la pulsación. Sólo influye en la amplitud de la oscilación.
El alargamiento del resorte antes de soltarlo (distancia desde la posición de equilibrio al punto que alcanza al estirarlo) es la amplitud.



ESTUDIO ENERGÉTICO DEL M.A.S.


El sistema oscilante, formado por un resorte y un bloque sujeto a él, describe un M.A.S. y tiene una energía mecánica (Em = Ec + Ep).
El Principio de conservación de la energía mecánica afirma que: La energía mecánica total permanece constante durante la oscilación.
Em = Ec + Ep = cte
EM = ½ K x2 + ½ m v 2
La energía potencial (½ K x2) que le comunicamos al resorte al estirarlo se transforma en E. cinética (½ m v 2) asociada a la masa unida al resorte mientras se encoje. La energía cinética de la masa alcanza su valor máximo en la posición de equilibrio (mitad del recorrido). Mientras se comprime el resorte, la energía cinética se va almacenando en forma de energía potencial del resorte.
En ausencia de rozamientos, el ciclo se repite indefinidamente (no se amortigua) .
Tipo de energía Extremo Centro
Cinética Nula Máxima
Potencial elástica Máxima Nula
En el centro de la oscilación sólo tiene energía cinética y en los extremos sólo energía potencial.

ENERGÍA CINÉTICA


La masa que oscila posee una energía cinética que es función de su masa y de su velocidad. Al variar la velocidad entre un valor máximo y cero, la energía cinética alcanza su valor máximo en el centro de la oscilación y será nula en los extremos, ya que en ellos la velocidad se hace cero (el cuerpo se detiene un instante cuando invierte el sentido de la oscilación).


Ec =½ m v 2
Entenderás mejor esta representación gráfica después de estudiar la energía potencial.
La energía cinética es, en cada punto, el valor resultante de restar a la energía total, E T la energía potencial.
En el punto medio de la oscilación la E p= 0 y la energía total está en forma de Ec, que es máxima en ese punto.
ET = ½ K x2 + ½ m v 2= ½m 2A2
En el centro v = v(máx) = •A
En el extremo v = 0 y Ec½ m v2= 0


RELACIÓN ENTRE EL M.A.S. Y EL MOVIMIENTO CIRCULAR UNIFORME
Establecer una relación entre un movimiento vibratorio armónico simple de un cuerpo (que es un movimiento rectilíneo) y el movimiento circular uniforme de un punto auxiliar nos va a permitir:
• Hallar la ecuación del M.A.S. sin tener que recurrir a cálculos matemáticos complejos.
• Ver de donde vienen algunos de los conceptos que usamos en el M.A.S, como la frecuencia angular y el desfase.
Observa el applet que va a continuación. Para lanzarlo pulsa Start.
El resorte azul oscila verticalmente con M.A.S. Para lograr que oscile hay que estirarlo hacia abajo. El applet, está parado "artificialmente" en la posición de equilibrio -en el medio- y al pulsar "Start", sale impulsado hacia arriba con máxima velocidad.
Sobre la circunferencia de la izquierda verás un punto negro (punto auxiliar) que gira con movimiento circular uniforme. Traza mentalmente la proyección de la posición de este punto negro sobre el diámetro vertical de la circunferencia. En cada momento, la masa azul que cuelga del resorte azul y realiza un M.A.S. ocupa una posición en la vertical que coincide en altura exactamente con la proyección de la posición del punto negro sobre el diámetro. El trazo azul sobre el diámetro de la circunferencia es la elongación del resorte azul, es la distancia de la masa al punto de equilibrio.
El resorte amarillo, que también oscila por debajo del círculo con M.A.S., está estirado al máximo en el momento en que empezamos a contar el tiempo. Observándolo verás que su proyección sobre el diámetro horizontal coincide con la proyección del punto negro que gira sobre la circunferencia. La elongación de este resorte es el trazo amarillo sobre el diámetro horizontal.
Resumiendo: Cuando un objeto gira con movimiento circular uniforme sobre una circunferencia, su proyección sobre el diámetro coincide con la posición de un objeto que describe un movimiento armónico simple sobre ella. La elongación de este movimiento es la distancia desde la posición que tiene en cada instante al punto medio de la circunferencia.
La velocidad angular del movimiento circular uniforme es w, que también se llama pulsación del M.A.S.
= • t si t = T —›  = 2 en consecuencia  = 2/ T
La pulsación está relacionada con la constante del resorte y con la masa que oscila según la expresión:

El periodo del movimiento circular uniforme es el periodo del M.A.S. En su expresión interviene la masa y la constante del resorte como se explica aplicando la dinámica al M.A.S.
PROBLEMAS DEL M.A.S.
Enlaza con la página que contiene los enunciados de los problemas e imprímela. Trata de resolverlos. Si no sabes hacerlo consulta su resolución en esta página.
________________________________________
Problema 0
Puedes calcular la constante de un resorte colgando de él una masa y midiendo la elongación.
Ejemplo: Al colgar una masa de 100 g su longitud aumenta en 1 cm. Por lo tanto k = 100 N/ m.
Si desde esa posición tiramos hacia abajo, el alargamiento del resorte sólo va a influir en la amplitud de la oscilación, pero no influirá en el período, que viene determinado por la naturaleza del resorte reflejada en k y por la masa que le colgamos.

Problemas de Cinemática del MAS
Repasa las fórmulas, escríbelas en un cuaderno y fíjate cuáles son las magnitudes que relacionan cada una.
Problemas
1.- Una masa de 400 g unida a un resorte de k =100 N/m realiza un M.A.S. de amplitud 4 cm.
a) Escribe la ecuación de su posición en función del tiempo, si empezamos a contar cuando la soltamos desde la posición extrema.
b) Calcula el tiempo que tarda en pasar por primera vez por la posición de equilibrio.
c) ¿Cuánto tarda en llegar desde la posición de equilibrio a una elongación de 2 cm? ¿Y desde 2 cm al extremo?
d) ¿Cuál es la velocidad media para el recorrido que va desde el centro hasta el extremo de la oscilación?
e) ¿Será cero la velocidad media de una oscilación completa?
Solución
a) La masa y la constante del resorte van a determinar la frecuencia de oscilación (período y pulsación).

Sustituyendo obtenemos: w =15,81 rad/s
x = 0,004•cos 15,81•t ; para t = 0 —> x = 4 cm
Podemos poner la función de la elongación en función del seno, si contemplamos un desfase de 90 grados. Por lo tanto, también podría escribirse: x = 0,004• sen (15,81•t + /2)
b) Desde un extremo (donde la soltamos) hasta la posición de equilibrio tarda un cuarto de período. En este tiempo el punto que describe el movimiento circular auxiliar giró /2.
Si = 2 /T —> T = 0,4 s, por lo tanto tarda 0,1 s.
También podemos calcularlo usando el movimiento circular uniforme auxiliar, de velocidad angular "", que en todo momento tiene una correspondencia con el M.A.S. asociado.
aplicando = w• t —>/2 = 15,81• t ——> t = 0,1 s.
c) Para calcular el tiempo que tarda en llegar a la posición 0,02 m, utilizamos la fórmula:
0,02 = 0,04 sen (15,81 •t) ——> t = 0,033 s.
d) La velocidad no varía linealmente, por lo tanto la velocidad media no se puede hallar aplicando Vm =(Vo + Vf)/2, como haríamos en un caso como el de la gráfica siguiente (ecuación lineal).

En el M.A.S. la velocidad varía según una función seno que va no linealmente de cero al valor máximo.
Para hallar Vm tenemos que calcular la distancia recorrida y dividirla por el tiempo empleado.
Vm= x / t
La distancia recorrida coincide con el área encerrada en la zona roja del gráfico velocidad -tiempo y es igual a la amplitud"A".

En este caso Vm= A / (T/4) = 0,04 /0,01 = 4 m/s
e) La velocidad media del ciclo total es igual a la hallada en el apartado anterior para un cuarto de período.

Puedes calcularlo de otra forma: mirando el ángulo girado y usando  = • t
Para ir de O a M (medio camino) el movimiento auxiliar giró el ángulo
sen  = OM / OB = OM /OP = 0,5 —>  = 30º
Para recorrer MP (la otra mitad) debe girar 60 º. Al ir a  = cte empleará más tiempo.
El tiempo que tarda en llegar desde la posición de 2 cm hasta 4 cm (al extremo) es:
t ’= 0,1- 0,033 = 0,066 s
¡Emplea doble tiempo !
El punto que gira sobre la circunferencia acompañando al M.A.S, recorre 30º para que su proyección esté en la posición 2 cm, y debe girar otros 60º -el doble- para completar su giro y para que su proyección llegue hasta el extremo.
2.- Una partícula que oscila con M.A.S. describe un movimiento de amplitud de 10 cm y periodo 2 s. Cuando se encuentra 3 cm del origen tiene dos velocidades, Una mientras va hacia un extremo y otra cuando regresa. a) Calcula estas velocidades. b) Escribe las ecuaciones de la posición con un desfase, suponiendo que empezamos a contar el tiempo cuando está en ese punto (3cm).

Aplicamos la ecuación de la velocidad en función de la posición.

Al tener la expresión una raíz cuadrada se obtienen dos valores de la velocidad: v = ± 0,29 m/s. Para la misma posición: positiva hacia la derecha y negativa hacia la izquierda.
Si está en A y va hacia la derecha, suponemos desfase alfa y la ecuación da posición será:
x = 0,1 sen (6,28/2 •t + )
Se cumple que para t = 0 —> x = A
Si avanza hacia el centro y parte de A, se cumple en todo momento que:
x = 0,1 sen ((6,28/2) • t +)
En este caso también se puede poner:
x = 0,1•sen((6,28/2)•t + /2 +) = 0,1•cos( (6,28/2)• t + )
3.-Una partícula de 10 Kg se mueve sobre el eje X hacia el origen sometida a una fuerza igual a – 40x (N), estando x expresada en metros. Si inicialmente se encuentra a 5 m del origen, con una velocidad de 15 m/s dirigida hacia el centro, calcula:
a) La amplitud del movimiento. En primer lugar debemos ordenar los datos mientras los memorizamos, expresarlos en el S.I. y hacer un esquema. Esto va a evitar que utilicemos unidades inadecuadas cuando las substituyamos en las fórmulas.
•
m =10 Kg F= - 40x N x0= 5 m v0= 15 m/s
Aplicamos las fórmulas que relacionan los datos entre si: F = - 40x
F = m•a = - m  2x
- 40x = - m 2x ; 40 =10  2 ;  = 2 rad/s
La ecuación de la velocidad en función de la posición es:

b) Instante en que pasa por primera vez por el origen. El enunciado dice que inicialmente está a 5 m del origen y esto da lugar a dos posibilidades: que vaya hacia un extremo o que esté volviendo de él. El dato de la velocidad nos indica que vuelve hacia el centro. (Ojo, en el enunciado podían darnos un valor negativo de la velocidad). Podemos poner la fórmula de la posición partiendo del extremo (usando la expresión del coseno). Desde aquí llegará al centro cuando el desfase inicial más el ángulo girado sea/ 2

5 = 9cos( •0 + 0) ;  0= 0’98 rad
(coseno en vez de seno puesto que el movimiento se dirige hacia el centro y para t = 0 —> x = A)
Pasa por el origen cuando el ángulo girado ( = •t + j 0) valga  /2
 /2 = ( 2t + 0’98 ) —> t = 0’29 s
________________________________________
4.- Un objeto realiza un movimiento armónico simple. Cuando se encuentra a 3 cm de la posición de equilibrio su velocidades es 6 m/s, mientras que si la distancia es de 5 cm, su velocidades es 2 m/s. Calcular la amplitud del movimiento.
X1=0’03 m V1=6 m/s X2=0’05 m V2=2 m/s


________________________________________
5.- Un resorte de acero tiene una longitud de 8 cm, pero al colgar de su extremo libre una masa de 1 Kg, su longitud es de 14 cm. ¿Cuál será la frecuencia de oscilación de esa masa, cuando se desplaza verticalmente fuera de la posición de equilibrio? Nota: tomar g = 9’8 m/s2.
Ordenamos los datos y los ponemos en el S.I.
No importa el valor del desplazamiento inicial para lanzar el movimiento ya que esto no va influir en la frecuencia de oscilación.
L0= 0’08 m m =1 Kg L1= 0’14 m g = 9’8 m/s
Aplicamos las fórmulas:
F = m•a
F = K•x m•a = K•x
1•9’8 = K•( 0’14 - 0’08 ) —> K = 163’33 N/m

________________________________________
6.- Un punto material de 25 g describe un M.A.S. de 10 cm de amplitud y período de 1 s. En el instante inicial la elongación es máxima. Calcular:
a) La velocidad máxima que pode alcanzar la citada masa.
T = 1 s m =0’025 Kg A = 0’1 m x (t0 ) = max = 0’1 m
E = 2 / T = 2 rad

V, será máxima cuando x = 0.
v = 2••0,1 = 0,628 m/ s2
b) El valor de la fuerza recuperadora al cabo de un tiempo igual a 0’125 s. será:.

________________________________________
Problemas de dinámica y energía del M.A.S
Repasa las fórmulas, escríbelas en tu cuaderno y fíjate en las magnitudes que relacionan.
Recuerda:
Puedes hallar la K de un resorte aplicando la ley de Hooke: Estirando el resorte con pesos conocidos y midiendo la longitud del resorte estirado con una regla.
La constante del resorte y la masa que le colgamos para hacerlo oscilar, van a condicionar la frecuencia y el período de oscilación.
La fuerza con que estiras el resorte al lanzar la oscilación, solamente va a condicionar la amplitud (A).
Problemas
7-. La energía total de un cuerpo que realiza un M.A.S. es de 3•10- 4 y la fuerza máxima que actúa sobre el es 1’5•10-2 N. Si el periodo de las vibraciones es 2 s y la fase inicial 60º, determinar:
a) La ecuación del movimiento de este cuerpo.
En primer lugar ordenamos los datos, hacemos un esquema del problema, y al mismo tiempo los memorizamos. Expresamos los datos en unidades del S.I. para evitar usar unidades inadecuadas cuando vayamos a sustituirlos en las fórmulas:
ET= 3•10-4 J FMAX= 1’5•10- 2 N T = 2 s 0= 60º =  /3 rad
Buscamos las fórmulas que relacionan los datos dados con los pedidos y substituimos sus valores:
ET= ½mv2 = ½kA2 = 3•10-4 J
FMAX= kA= 1’5•10-2 N
Dividimos miembro a miembro y obtenemos:


b) Su velocidad y aceleración para t = 0 7.

________________________________________
8.- De un resorte de k=1000 N/m cuelga una masa de 1 Kg. a) ¿Con qué fuerza debo tirar para lograr una fuerza recuperadora de 40 N? b) ¿Qué longitud estirará? c)¿Cuál es la amplitud del movimiento?.

Al colgar la masa, el resorte se estira hasta A, por lo tanto:
k•OA = m•g —> 1000• OA = 1•9,8 (suponemos g = 9’8 9’8 m/s2)
OA = 0,01 m = 1 cm
El peso nos ayuda a alcanzarla fuerza recuperadora de 40 N, en consecuencia sólo tenemos que tirar con una fuerza de 30 N.
Frecup = Fracción + peso
La elongación se mide desde el punto de equilibrio (A) por lo que la amplitud será de 3 cm.
Solamente cuenta como fuerza recuperadora ejecutante del M.A.S. la que sobrepasa el peso.
La oscilación tiene un punto de equilibrio, A, y en él la fuerza resultante y la aceleración tienen valor cero.
________________________________________
9.- Un resorte de masa despreciable se encuentra en equilibrio cuando cuelga de él un objeto de 10 g. Calcular:
a) La fuerza con que debe tirarse del resorte para que al soltarlo haga 20 oscilaciones en 5 s. con una amplitud de 2 cm.
Con los datos iniciales en el S.I. hallamos T y a partir de ellos, la fuerza
m = 0’01 Kg
A = 0’02 m  = 20/5 = 4 Hz
T = 1/= 0’25
 = 2 / T = 8p


b) La energía total del sistema cuando el objeto está 0,5 cm por encima de su posición de equilibrio. (Se desprecia la energía potencial gravitatoria ligada a la masa que oscila).
La energía total se puede hallar aplicando las expresiones de la energía cinética máxima o de la potencial. Como la energía total se conserva siempre, la suma de la E. cinética más la E. potencial será igual en cualquier punto de la oscilación.
Ep= ½Kx2 = 1/2 m 2A2 = ½•0’01•(8p )2• 0’022 = 1’26m J
Podemos calcular a energía cinética e a potencial cuando está a 0,5 cm y sumarlas, el resultado será el mismo. Veamos:

Ec= ½m•v2 = ½• 0’01•0’4872 = 1’186 mJ
Ep = ½Kx2 = ½•6’317•0’0052 = 0’079 mJ
ET= Ec + Ep=1’186 + 0’079 = 1’26 mJ
________________________________________
10.- Un cuerpo que tiene una masa de 50 g. describe un movimiento vibratorio armónico simple en el que su posición viene dada por x = A•cos Wt , a lo largo de un segmento BC de 20 cm de longitud. Si cada 3 s. realiza media vibración, calcular:
a) La fuerza recuperadora en el instante t =1 s
m = 0’05 Kg A = BC/2 = 0,1 m T = 3•2 = 6 s
X = Acos t
Aplicando las fórmulas:

b)La energía cinética que posee la masa en el instante t = 0’5s es:

11. Una partícula de 1 mg de masa ejecuta un movimiento oscilatorio armónico que puede expresarse por la ecuación: X = A• sen w t, siendo el periodo de 0’01 s. Cuando t = 8’4•10-4 s, su velocidad es v = 31’4 cm/s. Calcular: a) La amplitud del movimiento oscilatorio armónico, en metros. b) La energía total.
a) La amplitud del movimiento oscilatorio armónico, en metros es:
T =0’01 s
m = 10-6 Kg X = A•sen wt
v(8’4•10- 4) = 0’314 m/s

b) La energía total:.

________________________________________
12.- Una partícula describe un movimiento oscilatorio armónico simple, de modo que su aceleración máxima es de 18 m/s2ye su velocidad máxima 3 m/s. Hallar: a) La frecuencia de oscilación de la partícula. b) La amplitud del movimiento.
a) Frecuencia de oscilación de la partícula:
amáx= 18 m/s2 vmáx= 3 m/s

b) La amplitud del movimiento

________________________________________
13.-Una masa de 2 g oscila con un período de  segundos y amplitud 4 cm. En el instante inicial la fase es de 45º. Cuando su elongación sea de 1 cm, hallar: a) La energía cinética de la partícula . b) Su energía potencial.
a) Energía cinética de la partícula.
Agrupamos los datos:
T=  s m = 0’002 Kg 0= 45º = /4 rad A = 0’04 m x = 0’01 m
Aplicamos las correspondientes fórmulas:

b) Energía potencial

Nota) Si el resorte oscila en dirección vertical, podemos comparar la variación de la energía potencial gravitatoria frente a la variación de la energía potencial del resorte
La masa que oscila recorre la altura 2•A entre la posición más baja y la más alta y la variación de energía potencial será:
Ep = mgh = mg 2A = 0,002•9,8•2•0,04 = 0,00008 = 1,6•10 - 3 J
La variación de la energía potencial elástica:
Ep = 1/2 K A2= 0,004 •0,0016 = 6,4•10 - 6 J
Por tanto es menor la E. potencial elástica y no se puede despreciar la E. potencial gravitatoria de la masa oscilante, en la conservación de la energía mecánica, si oscila verticalmente.